kurva dengan persamaan y=x√30-30x^2

Gambar berikut merupakan kurva dengan persamaan y = x √(30 – 30x²). Jika daerah yang diarsir diputar mengelilingi sumbu x, maka volume benda putar yang terjadi sama dengan 8π satuan volume. Untuk menentukan volume benda putar suatu kurva yang diputar 360⁰ terhadap sumbu x, maka bisa menggunakan integral tentu dengan cara menggambar kurvanya dulu agar diperoleh batas daerahnya.

Volume benda putar suatu kurva f(x) yang diputar 360⁰ terhadap sumbu x pada interval a ≤ x ≤ b adalah

V = π ₐ∫ᵇ f² (x) dx

Volume benda putar yang dibatasi dua kurva

= π ₐ∫ᵇ f² (x) – g²(x) dx

dengan

• f(x) = kurva yang lebih jauh dengan sumbu x
• g(x) = kurva yang lebih dekat dengan sumbu x

Pembahasan

Pada soal, gambarnya sudah ada, hanya saja titik potong terhadap sumbu x nya belum diketahui, dapat dicari dengan cara y = 0

y = x √(30 – 30x²)

0 = x [tex]\sqrt{30(1 - x^{2})}[/tex]

0 = x [tex]\sqrt{30(1 - x)(1 + x)}[/tex]

x = 0 atau x = 1 atau x = -1

Pada gambar terdapat dua daerah yang diarsir yaitu daerah yang sebelah kiri (V₁) dan daerah sebelah kanan (V₂)

V₁ = [tex]\pi \int\limits^0_{-1} {(x \sqrt{30 - 30x^{2}})^{2}} \, dx[/tex]

V₁ = [tex]\pi \int\limits^0_{-1} {x^{2} (30 - 30x^{2})} \, dx[/tex]

V₁ = [tex]\pi \int\limits^0_{-1} {30x^{2} - 30x^{4})} \, dx[/tex]

V₁ = (10x³ – 6x⁵) ₋₁|⁰ π

V₁ = [(10(0)³ – 6(0)⁵) – (10(–1)³ – 6(–1)⁵)] π

V₁ = [0 – (–10 + 6)] π

V₁ = [0 – (–4)] π

V₁ = 4π

V₂ = [tex]\pi \int\limits^1_0 {(x \sqrt{30 - 30x^{2}})^{2}} \, dx[/tex]

V₂ = [tex]\pi \int\limits^1_0 {x^{2} (30 - 30x^{2})} \, dx[/tex]

V₂ = [tex]\pi \int\limits^1_0 {30x^{2} - 30x^{4})} \, dx[/tex]

V₂ = (10x³ – 6x⁵) ₀|¹ π

V₂ = [(10(1)³ – 6(1)⁵) – (10(0)³ – 6(0)⁵)] π

V₂ = [10 – 6  – 0] π

V₂ = 4π

Jadi volume benda putar yang terjadi adalah

= (V₁ + V₂) satuan volume

= (4π + 4π) satuan volume

= 8π satuan volume

Pelajari lebih lanjut    

Contoh soal lain tentang luas daerah kurva

https://brainly.co.id/tugas/15115961

------------------------------------------------

Detil Jawaban    

Kelas : 11

Mapel : Matematika  

Kategori : Integral Tak Tentu

Kode : 11.2.10

Kata Kunci : Gambar berikut merupakan kurva dengan persamaan